HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.

Contoh:

A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.

Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.

Jadi A = {2,4,6,8,10}

B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J

Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli

Jadi C = {Januari, Juni, Juli}

B. Anggota Himpunan

Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan.

Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan

dinyatakan dengan notasi ∉.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Contoh:

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:

A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}

maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉ A, 9 ∉ A

Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4

C. Menyatakan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :

1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya

2. Memberikan notasi pembentuk himpunan

3. Mendaftarkan anggota-anggotanya

No	Dengan Kata-kata	Notasi Pembentuk Himpunan	Mendaftarkan Anggotanya
1	A adalah himpunan Bilangan genap di bawah 10	A={x|x < 10} x ∈ bilangan genap	A= {2,4,6,8}
2	B adalah himpunan kelipatan 5 di bawah 20	B={x|x < 20 x ∈ kelipatan 5}	B={5,10,15}

D. Macam-macam Himpunan

1. Himpunan kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau ∅

contoh:

P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.

Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }

2. Himpunan terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas

contoh:

P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}

3. Himpunan tak terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.

contoh:

Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}

4. Himpunan semesta

Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.

contoh:

R={1,2,3,4,5}

Himpunan semesta yang mungkin adalah: 

S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb.

5. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A

menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ⊂ B.

contoh:

A={2,4}

B={1,2,3,4,5}

maka A ⊂ B

Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang

mungkin dari himpunan itu sebanyak 2n(A).

contoh:

Diketahui himpunan A={2,3,5}à n(A) = 3

Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah :

 

Himpunan bagian dari A adalah:

{ }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}

  

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

  

6. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan

tersebut samaà n(A) = n(B).

contoh:

A={1,2,3} à n(A) = 3

B={4,5,6} à n(B) = 3

n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B

E. Diagram Venn

Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah

himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.

Aturan untuk membuat diagram Venn:

1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada pojok kiri atas.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup sederhana.

3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik

Contoh:

S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

A={2,4,6,8,10,12}

B={10,12,14,16,18,20}

Diagram Vennnya:

F. Operasi pada Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan

anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∩ B = {x| x ∈ A dan x ∈ B}

                                                         

Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah A ∩ B

Contoh:

Diketahui:

A={bilangan ganjil kurang dari 10}

B={bilangan prima kurang dari 10}

carilah A ∩ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A={1,3,5,7,9}

B={2,3,5,7}

A ∩ B = { 3,5,7 }

Diagram Vennnya:

                                               

2. Gabungan Himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.

Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∪ B = {x| x ∈ A atau x ∈ B}

                                                           

Daerah yang berwarna biru merupakan daerah himpunan A ∪ B

contoh:

Diketahui:

A={faktor prima dari 30}

B={Nilai genap dibawah 10}

Tentukan A ∪ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A={2,3,5}

B={2,4,6,8}

A ∪ B ={2,3,4,5,6,8}

Diagram Vennnya:

                                                             

3. Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi

anggota B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B

                                                             

contoh:

Diketahui:

A={1,2,3,4,5}

B={4,5,6,7,8}

Tentukan A – B!

Jawab:

A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3}

4. Jumlah Himpunan

Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B.

                                                             

contoh:

Diketahui:

A={a,b,c,d,e,f}

B={d,e,f,g,h,i}

Tentukan A + B!

Jawab:

A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}

5. Komplemen

Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota

himpunan S yang bukan anggota himpunan A.

Komplemen A dinotasikan dengan A' atau  

                                                               

contoh:

S={1,2,3,4,5,6}

A={4,5,6}

tentukan  

Jawab:

                  = {1,2,3}

G. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Komutatif.

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

2. Asosiatif

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3. Distributif

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4. Dalil De Morgan

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan

anggota A dan dilambangkan dengan .

SISTEM KOORDINAT

A.   Posisi Titik Terhadap Sumbu x dan Sumbu y

Titik-titik pada koordinat Cartesius (selanjutnya disebit bidang Koordinat) memiliki  jarak terhadap sumbu-x dan sumbu-y.

      Contoh:

Perhatikan posisi-posisi titik A, B, C, D, E, F, G, H terhadap sumbu-x dan sumbu-y pada gambar di bawah ini:

Dari gambar di atas dapat ditulis posisi titik-titik, yaitu:

1) Titik A berjarak 3 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak 4 satuan terhadap sunbu-y

2) Titik B berjarak 6 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak 3 satuan terhadap sunbu-y

3) Titik C berjarak -4 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak 2 satuan terhadap sunbu-y

4) Titik D berjarak -6 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak 6 satuan terhadap sunbu-y

5) Titik E berjarak -3 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak -3 satuan terhadap sunbu-y

6) Titik F berjarak -6 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak -6 satuan terhadap sunbu-y

7) Titik G berjarak 6 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak -4 satuan terhadap sunbu-y

8) Titik H berjarak 4 satuan terhadap sumbu-x, dan berjarak -6 satuan terhadap sunbu-y

Maka penulisan koordinat titik A, B, C, D, E, F, G, dan H pada    bidang    koordinat sebagai berikut:

Pembagian Bidang Koordinat

Sumbu-x dan sumbu-y membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:

1)   Kuadran I  : Koordinat-x positif dan koordinat-y positif

2)   Kuadran II : Koordinat-x negatif dan koordinat-y positif

3)   Kuadran III: Koordinat-x negatif dan koordinat-y negatif

4)   Kuadran IV: Koordinat-x positif dan koordinat-y positif

Pembagian kuadran dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

B.   Posisi Titik Asal (0, 0) dan Titik Tertentu (a, b)

Titik Asal O (0, 0) adalah sebuah titik acuan untuk menentukan posisi titik tertentu (a, b) yang berada pada koordinat cartesius. Menentukan posisi titik terhadap titik asal sama dengan menentukan posisi titik terhadap sumbu x dan sumbu y, namun ada titik acuannya yaitu titik asal/pusat koordinat. 

Perhatikan gambar berikut:

C.   Posisi Garis terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y

 Garis yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y

1.   Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut memiliki jarak yang selalu sama.

2.   Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap sumbu x maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu X.

3.   Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap sumbu y maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu Y.

     

      Garis m dan n sejajar sumbu-x

Garis m dan n sejajar sumbu-y

      

     Garis berpotongan dengan sumbu-x dan sumbu-y

Jika suatu garis tidak sejajar dengan sumbu koordinat, maka garis tersebut akan berpotongan dengan sumbu X maupun sumbu Y, karena posisi garis dan sumbu koordinat terletak dalam satu bidang datar.

Garis m berpotongan terhadap sumbu-x dan sumbu-y